Un paseo por "Análisis y geometría"

Al estudio exhaustivo de las funciones, de la dependencia entre magnitudes variables, se le llama análisis. Bajo ese epígrafe hallan refugio el cálculo diferencial, el cálculo integral y, en general, cualquier dominio de la matemática que recurra a procesos limitantes. Con una larga historia, que se confunde con el propio devenir de la matemática, el árbol del análisis se yergue sobre cuatro raíces vigorosas; a saber, el "álgebra", la geometría analítica, la idea de función y el campo de los números reales.

Nace el análisis en el siglo XVII, hermano gemelar de otras creaciones de la revolución  científica (mecánica, óptica y astronomía),  interesadas por las trayectorias curvas y la acción de fuerzas variables. Pero algunos de los problemas básicos  del análisis se hallan presentes, de una forma geométrica, en los griegos. Además de trazar tangentes a las curvas, los griegos se propusieron definir y calcular longitudes, áreas, volúmenes y centros de gravedad. Desde una perspectiva más filosófica habría que agregar las ideas de infinito, las aporías y las paradojas de Zenón y Aristóteles, sobre todo.

En un principio, los griegos denominaron síntesis a la adición de magnitudes; análisis, la descomposición de una suma. Ambos términos recibieron más tarde un significado propio en la construcción geométrica y, por extensión, en la construcción de una argumentación  lógica, es decir la que lleva a la conclusión de que un aserto es verdadero o encierra una contradicción.

Esta geometría fluía de la física, del concepto de espacio descrito por Aristóteles en "Sobre el cielo": un espacio finito, formado por tres  regiones  concéntricas, la de la esfera sublunar, la región de los planetas y la esfera de las estrellas fijas. La matematización llegó con Euclides, en torno al 300 a.C.

Pero los "Elementos" de Euclides no agotan toda la matemática griega. Apolonio ahondó en las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) y fueron muchos los que reflexionaron sobre la construcción, mediante círculos y rectas, de un cuadrado cuya área fuera igual a la de un círculo dado. El problema de la cuadratura del círculo. O de la parábola, en la que laboró Arquímedes de Siracusa.